Neoricardiaanse terugschakeling van de techniek

Plaatsing op Heterodox Gezelschap Sam de Wolff: 4 februari 2013

In de neoricardiaanse theorie van Piero Sraffa wordt aangetoond, dat er geen vanzelfsprekend verband bestaat tussen enerzijds de verdeling van inkomens (loon en winst) en anderzijds de keuze van de productie-techniek. Het is zelfs denkbaar, dat er bij het voortschrijden van de tijd meermaals wordt heen- en terug geschakeld tussen twee technieken (in het Engels: reswitching). Daarmee weerlegt Sraffa enkele fundamentele veronderstellingen uit de neoklassieke (marginalistische) macro-economie. Immers die veronderstelt een factor-substitutie: in geval van bijvoorbeeld een stijgende rentevoet zal de factor kapitaal in het productie-proces worden vervangen door de factor arbeid. Het verschijnsel van de terugschakelende techniek illustreert, dat van zo een monotone substitutie geen sprake kan zijn.

Wie de macro-economische ontwikkelingen wil begrijpen, ontkomt er niet aan om de economische structuur van de maatschappij te onderzoeken. De samenstelling van het totale maatschappelijke product en zijn productie-wijze zijn essentieel voor de bewegingen van de prijzen, de lonen en de winst. Daarom wordt op dit portaal voortdurend aandacht besteed aan de neoricardiaanse theorie van Sraffa. Onlangs is in een column uitgelegd, hoe volgens Sraffa de producenten komen tot de keuze van hun productie-techniek. In die column is de toekomstige behandeling van het zogenaamde terugschakel fenomeen (algemener bekend als reswitching) aangekondigd. Die belofte wordt ingelost met de huidige column.

Ten behoeve van lezers, die onbekend zijn met de voorgaande column(s), wordt kort nog eens het neoricardiaanse formalisme herhaald. Iemand, die daarmee totaal onbekend is, doet er goed aan om allereerst de vroegere columns over dit onderwerp te raadplegen. Zij die werkelijk diep in de stof willen duiken, kunnen de originele bronnen raadplegen, waaruit uw columnist heeft geput. Dat is voor het formalisme vooral het boek Vorlesungen zur Theorie der Produktion van de vermaarde econoom Luigi L. Pasinetti¹.

Beknopt overzicht van het neoricardiaanse formalisme

In de theorie van Sraffa ontvangt de producent j voor zijn productie een opbrengst volgens de formule

(1)     p_j × Q_j = (1 + r) × Σ_i=1ⁿ (p_i × q_ij) + w × l_j

In de formule 1 wordt afgezien van een tijds-afhankelijkheid, zoals bij economische groei. De grootheid Q_j is de materiële omzet van de producent j, q_ij is de in de productie j gebruikte hoeveelheid van product i, en l_j is de gebruikte hoeveelheid arbeid. Er zijn in totaal n producenten met elk een eigen eindproduct in het systeem, zodat de sommatie loopt van 1 tot n. De grootheid p_i stelt de prijs van product i voor, en w is het loonpeil.

Het rendement r kan worden opgevat als de winstvoet, die gebruikelijk is in de heersende maatschappelijke verhoudingen. De rente moet worden betaald uit de winst. Als men wil veronderstellen, dat producenten nauwelijks winst maken, dan is r gelijk aan de rentevoet. Tezamen met het rendement r zijn er kennelijk n+2 onbekende grootheden. De berekening van die grootheden wordt transparanter, wanneer de hoeveelheden uit de formule 1 worden verwijderd. De deling van het linker en rechter lid door Q_j leidt tot

(2)     p_j = (1 + r) × Σ_i=1ⁿ (p_i × a_ij) + w × a_j

In de formule 2 zijn a_ij = q_ij / Q_j de productie-coëfficiënten, en a_j = l_j / Q_j is de arbeids-coëfficiënt. De n+1 componenten van de kolom [a_ij, a_j], die het productie-proces kenmerkt, worden de technische coëfficiënten genoemd. Tezamen beschrijven zij de techniek van het productie-proces. Het voordeel van de schrijfwijze in de formule 2 wordt duidelijk, wanneer je de afwezigheid van schaal-effecten veronderstelt. Als de productie op een grotere schaal geen voor- of nadelen heeft, dan blijft de hoeveelheid benodigde productie-factoren per eenheid product gelijk. Dan zijn de technische coëfficiënten constant, en de formule 2 is een lineaire vergelijking.

De producent j kan de formule 2 niet zelf oplossen. Hij krijgt de prijzen van zijn grondstoffen en outillage opgelegd door de markt. De oplossing is alleen mogelijk op het macro-economische niveau, waar de formule 2 de vector-gedaante krijgt:

(3)     p = (1 + r) × p · A + w × a

De matrix A heeft de dimensie n×n en is samengesteld uit de productie-coëfficiënten. De vectoren p en a zijn hier uiteraard liggend, dus 1×n.

Dankzij de matrix-rekening kan de formule 3 simpel worden opgelost voor p. Men vindt

(4)     p(r) = w × a · (I − (1 + r) × A)^-1

In de formule 4 is I de eenheids matrix. De boven-index -1 geeft aan, dat de inverse van de matrix tussen de twee haakjes moet worden genomen. De lezer kan desgewenst een toepassing van deze formule vinden in een eerdere column. Deze theorie laat uitstekend zien, hoe de kennis uit de wiskunde kan bijdragen aan het economische inzicht. Voor enkele typische kenmerken van de wiskunde bij Sraffa zij de lezer verwezen naar de aanhang (beneden de voetnoten).

Aangezien het stelsel van n vergelijkingen niet n+2 grootheden kan vastleggen, wordt gewoonlijk een numéraire gekozen. Het ligt voor de hand om hiervoor het scalaire loonpeil w te kiezen. Dat resulteert in n+1 onbekende grootheden, te weten r en n verhoudingen p_j/w. Met andere woorden, aangezien er maar n vergelijkingen beschikbaar zijn, zullen de p_j/w functies moeten blijven van r.

Als de prijsfuncties kunnen worden omgekeerd, dan krijgt men grootheden (w/p_j)(r). Deze grootheden worden looncurven genoemd, telkens gerelateerd aan een bepaalde prijs p_j. Met andere woorden, er zijn n verschillende looncurven. De schaar van looncurven is kenmerkend voor de des betreffende productie-techniek. In deze column wordt aangenomen, dat de bedrijfstak (groep van producenten met hetzelfde product) genummerd met j=1 graan produceert. In het vervolg zal alleen de looncurve (w/p_g)(r) worden bestudeerd.

Als w/p_g wordt uitgedrukt in prijzen, dan zullen die de gedaante p/p_g aannemen². Kennelijk impliceert de concentratie op de looncurve w/p_g, dat feitelijk de prijs p_g van een baal graan, inderdaad nogal willekeurig, de rol van numéraire overneemt. Overigens zou elke keuze uit de schaar van looncurven goed zijn geweest, omdat men gewoonlijk enkel is geïnteresseerd in de onderlinge verhoudingen van de prijzen. De numéraire valt weg uit die verhoudingen.

Keuze van de techniek

Producenten proberen om hun kosten te minimaliseren. In de column over de keuze van de productie-techniek is aangetoond, dat de producenten daarom steeds de voorkeur geven aan de productie-techniek, die de technologie-grens afbakent. De technologie-grens is de omhullende van alle beschikbare looncurven. Naarmate er meer technieken γ beschikbaar zijn, neemt het aantal mogelijke looncurven toe. De technologie-grens zal daardoor vermoedelijk worden uitgebreid en expanderen. Aldus prefereren bij een gegeven rendement r de producenten de techniek α, die het hoogste loonpeil (w/p_g)(r) oplevert. Een bij de techniek α behorende loonpeil wordt voortaan aangeduid als (w/p_g)^α. Met de boven-index α wordt hier dus niet een exponent bedoeld.

De rol van de looncurven in de keuze van de technologie is natuurlijk niet echt verrassend. Het hoogste loonpeil w/p_g bij een gegeven r staat gelijk aan het grootste netto product bij die waarde van r. En een groot netto product biedt extra ruimte voor winst. Inderdaad kan het voorgaande ook zodanig worden gelezen, dat bij een gegeven loonpeil de technologie grens leidt tot de grootste winstvoet r.

De neoricardiaanse theorie toont aan, dat in een complex economisch systeem met vele bedrijfstakken elke looncurve een ingewikkelde polynoom in r is. Daardoor vertoont de looncurve als functie van r een golfbeweging, die overigens wel monotoon dalend blijkt te zijn. Met andere woorden, het stijgende rendement r wordt betaald door een lager loonpeil. Wegens dat golvende gedrag vormt nu eens de looncurve van de ene techniek de technologie-grens, en dan weer die van een andere techniek. Voor de wiskundige bijzonderheden kan de lezer weer de aanhang onder de voetnoten raadplegen.

Een dergelijke ingewikkelde technologie-grens leent zich niet goed voor een eenvoudige analyse. Voor het huidige doel, te weten het illustreren van het fenomeen van het terug schakelen van de techniek, volstaat het om een economisch systeem met maar twee bedrijfs-takken te beschouwen.

Terug schakeling van de techniek (reswitching)

In deze columns blijft gewoonlijk verborgen hoeveel tijd hun voltooiing heeft gekost. Aangaande deze studie over reswitching wil uw columnist wel toegeven, dat het zelf construeren van een rekenvoorbeeld hem minstens tien werkdagen heeft gekost. Is dat de moeite waard, mede gezien de mogelijkheid om simpelweg een voorbeeld over te nemen uit een leerboek³? Was deze tijd van formules krabbelen niet beter besteed aan plezier maken met mensen? Des te meer omdat dat wordt gewaardeerd? Uw columnist denkt toch van niet. Dankzij de theorie van reswitching kunnen grote delen van de neoklassieke macro-economie worden opgedoekt. Dat is een zo essentieel wapenfeit, dat een liefhebber van economie het reswitching model ècht zelf in de vingers moet krijgen.

Een goede mogelijkheid was geweest om de constructie-methode voor reswitching situaties te gebruiken, die in het artikel Creating two-good reswitching examples van Robert Vienneau wordt gepresenteerd. Vienneau is een toegewijd aanhanger en expert van de neoricardiaanse theorie. Helaas kreeg uw columnist dit artikel pas een paar dagen terug onder ogen. Toen had hij al een eigen aanpak bedacht. Overigens is de methode van Vienneau een stimulans geweest om de aanpak te perfectioneren. Daarom is de link naar het artikel van harte aanbevolen aan ècht geïnteresseerden⁴. Daarnaast moet het boek The production of commodities van J.E. Woods worden genoemd, omdat dat voor de constructie van het nu volgende rekenvoorbeeld leiding gevend is geweest⁵.

Er wordt een economisch systeem met slechts twee sectoren bekeken, te weten de landbouw voor de productie van graan (in balen) en de industrie voor de productie van metaal (in ton gewicht). De trouwe lezer herkent hierin de rekenvoorbeelden uit de voorgaande columns. In de twee takken worden de relevante economische grootheden voorzien van respectievelijk de indices g en m. Als de formule 4 wordt uitgewerkt, dan vindt men⁶

(5a)     (w/p_g)(r) = (1 − Σ × (1+r) + Δ × (1+r)²) / ( a_g − Ψ × (1+r))
(5b)     Σ = a_gg + a_mm
(5c)     Δ = a_gg × a_mm − a_mg × a_gm
(5d)     Ψ = a_mm × a_g − a_mg × a_m

Mensen met enige kennis van matrix-rekening zullen in Σ het spoor van de matrix A herkennen, en in Δ de determinant van A. De teller van de looncurve blijkt een polynoom van graad 2 in r te zijn. Het eerste nulpunt van de polynoom komt overeen met de situatie, waarin het hele netto product als winst wordt uitgekeerd. Voorbij dat punt is het stelsel van vergelijkingen 5 economisch niet relevant, evenmin als in het gebied r<0. De lezer kan zich nu misschien voorstellen, waarom de constructie van een looncurve zo ingewikkeld is en uw columnist zo zwaar heeft belast⁷.

Figuur 1: Looncurven voor α en β

De looncurve van het stelsel 5 is geldig voor één techniek. Voor reswitching zijn er minstens twee technieken nodig. Stel dat de landbouw alleen beschikt over de productie-methode τ(g1). Laat de industrie daarentegen kiezen uit twee productie-methoden, te weten τ(m1) en τ(m2). De tabel 1 laat de waarden van de technische coëfficiënten voor deze drie methoden zien, zoals ze in het huidige rekenvoorbeeld zullen worden gebruikt. De index j neemt de waarde g of m aan, afhankelijk of het de landbouw- of industrie-kolom in de tabel betreft. Kennelijk zijn er op het macro-economische niveau twee technieken, elk bestaande uit een combinatie van twee methoden op het sector-niveau (te weten landbouw en industrie). De technieken worden hier aangeduid met α = (τ(g1), τ(m1)) en β = (τ(g1), τ(m2)). Met andere woorden, elke techniek bestaat uit een combinatie [A^θ, a^θ], met θ = α of β.

Zoals de tabel 1 laat zien, leidt het besluit van de (terug-) schakeling bij de industriële productie-methode tot een andere verhouding van de productie-factoren. In het oog springend is, dat per geproduceerde ton metaal de productie-methode τ(m1) relatief veel graan gebruikt en de productie-methode τ(m2) relatief veel metaal.

Figuur 2: Verhouding (w/p_g)^β : (w/p_g)^α

Nu de technische coëfficiënten zijn gegeven, kunnen de twee looncurven (w/p_g)^α en (w/p_g)^β wiskundig worden geformuleerd met behulp van het stelsel 5a-d⁸. Vervolgens kunnen de beide looncurven numeriek worden berekend. Het resultaat van deze berekeningen wordt weergegeven in de figuur 1. Voor de algemene uiteenzetting over de betekenis van de looncurven wordt verwezen naar de eerdere column over de keuze van de techniek. Het bijzondere aan de looncurven in figuur 1 is, dat zij elkaar twee keer snijden: in de punten r=0.2 en r=0.8.

Wellicht is dit slecht zichtbaar, omdat voor dit simpele geval de twee looncurven toch erg gelijk vormig blijven. Het fenomeen is duidelijker zichtbaar in de figuur 2, waar voor elke r de verhouding van de waarde (w/p_g)^β(r) ten opzichte van de waarde (w/p_g)^α(r) is afgebeeld. In het r-bereik [0, 0.2] wordt de technologie-grens bepaald door de techniek β, vervolgens in [0.2, 0.8] door de techniek α, en tenslotte in [0.8, 1.05] opnieuw door de techniek β.

De schakeling van de techniek β naar de techniek α en vervolgens weer terug naar de techniek β is een bewuste beslissing van de producenten in de industrie. Men ziet aan de hand van dit reken-voorbeeld, dat een stijgend rendement r niet vanzelf de ene techniek bevoordeelt boven de andere. Er bestaat geen vuistregel voor de schakeling, zoals wel wordt beweerd door de neoklassieke leer. Kennelijk speelt de specifieke structuur van de totale productie een doorslag gevende rol in het besluitvormings proces.

Reële effecten bij de schakeling van techniek

In de voorgaande column over de techniek-keuze is al opgemerkt, dat de veranderingen van de economische grootheden bij een stijgend rendement r niet altijd reëel zijn. Soms is het enkel een prijs-effect. Bijvoorbeeld kan bij een reëel ongewijzigde techniek de waarde van de productie-middelen stijgen, simpelweg vanwege de ontwikkeling van de prijzen. Onder een reëel effect wordt verstaan de concrete en bewuste beslissing van de producenten om te kiezen voor een andere productie-methode. Zoals de tabl 1 laat zien, verandert zo een beslissing de hoeveelheden van de productie-factoren (materiaal en arbeid) per geproduceerde eenheid eindproduct.

Het meest verrassend is wellicht de ontwikkeling van de factor arbeid. Allereerst valt op, dat kennelijk de arbeids-productiviteit (voorgesteld door Q_m/l_m, de omgekeerde van de arbeids-coëfficiënt a_m) hoger is bij de methode τ(m2) dan bij de methode τ(m1). Echter is dit verschil niet zo belangrijk, omdat de producenten vooral geïnteresseerd zijn in het netto product. Een hoge arbeids-productiviteit, die voornamelijk wordt besteed aan de aanvulling van opgebruikte productie-middelen, zou voor hen weinig (toegevoegde) waarde hebben.

Uiteraard is belangwekkend hoe de producenten reageren op een dalend loonpeil. De schakeling van τ(m1) naar τ(m2) in het eerste schakel-punt (bij r=0.2) laat zien, dat ondanks het dalende loonpeil de producenten overstappen naar een methode, die per ton metaal minder arbeid vereist. Dat is op het eerste gezicht niet logisch, en dus een anomaliteit. De terugkeer bij r=0.8 naar de methode τ(m1) oogt daarentegen wel zinvol, en bevestigt het buikgevoel.

De ontwikkeling van de productie-middelen is iets gecompliceerder. Voor een helder inzicht is het nodig om de ontwikkeling van de prijzen van het materiaal te berekenen. Op een soortgelijke wijze als bij het stelsel vergelijkingen 5a-d kan men berekenen, dat er voor de prijsverhouding geldt⁹

(6a)     (p_m/p_g)(r) = (a_g − Φ × (1+r)) / ( a_g − Ψ × (1+r))
(6b)     Φ = a_gg × a_m − a_gm × a_g

In de formule 6a is Ψ hetzelfde als in de formule 5d.

Figuur 3: Verhouding p_m/p_g voor α en β

De twee prijs-verhoudingen (p_m/p_g)^α en (p_m/p_g)^β kunnen wiskundig worden geformuleerd met behulp van het stelsel 6a-b¹⁰. Vervolgens kunnen de beide curven numeriek worden berekend. Het resultaat van deze berekeningen wordt weergegeven in de figuur 3. De twee prijs-curven voor de technieken α en β blijken in het beschouwde bereik van r-waarden vrijwel samen te vallen. Aldus is onzichtbaar, dat in de schakelpunten de twee technieken exact dezelfde prijzen kennen.

Belangrijker dan dat is evenwel het feit, dat bij een stijgend rendement de prijs p_m van een ton metaal duidelijk daalt ten opzichte van de prijs p_gvan een baal graan. Dit monotone gedrags-patroon van prijzen (∂/∂r(p_m/p_g) < 0) is overigens kenmerkend voor alle technieken met een convexe looncurve. Gegeven dit ook voor de producenten waarneembare gedrag van prijzen doet het intuïtief wonderlijk aan, dat de producenten in de industrie bij het tweede schakelpunt (r=0.8) overstappen naar een productie-methode, die per ton nieuw voortgebracht metaal méér graan verbruikt en minder metaal. Dit is een anomalie. Uiteraard is de keuze van de producenten bij het eerste schakelpunt (r=0.2) wel voor de hand liggend, omdat dat precies andersom is.

Zoals reeds is geconstateerd in de eerdere column over de techniek-keuze, treden bij de terug schakeling dit soort anomaliteiten noodgedwongen op. Immers reswitching impliceert, dat de producenten een slingerend beleid voeren. Het is deze afwijking van het monotone gedrag, die de basis wegslaat onder een aantal thesen van de neoklassieke macro-economie.

1. Zie Vorlesungen zur Theorie der Reproduktion (1988, Metropolis-Verlag) van L.L. Pasinetti. Het boek verscheen in 1975 in de Italiaanse taal. In 1977 verscheen een Engelse vertaling Lectures in the theory of production. Uw columnist leest makkelijker in het Duits; het is net een Nederlands dialect. Bovendien zijn Duitse versies meestal goedkoper.
2. De formule 3 kan worden herschreven in
   
   (i)     p / p_g = (1 + r) × (p / p_g) · A + (w / p_g) × a
   
   In sommige leerboeken wordt de numéraire simpel gelijk aan 1 gesteld (dus p_g=1), waarna de vector p verder de prijs-verhoudingen voorstelt. Dat versimpelt de formules, maar is tevens nogal verwarrend. De looncurve kan met behulp van de formule (i) worden geformuleerd als een lineaire combinatie van prijzen:
   
   (ii)     (w/p_g)(r) = (p/p_g)(r) · (I − (1 + r) × A) · a^† / |a|²
   
   In de formule (ii) is a^† is de getransponeerde van a en dus een verticale vector, en |a| stelt de lengte van de vector a voor.
3. De economen in de grote Europese landen zoals Duitsland en Frankrijk hebben intussen het reswitching verschijnsel geaccepteerd, in tegenstelling tot hun in dit opzicht wat achter gebleven Noord-Amerikaanse collega's. Zeer aan te raden is het leerboek Volkswirtschaftslehre (2003, Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH) van M. Heine en H. Herr. Het reswitching fenomeen wordt daar beschreven op p.259, zij het enkel voor het simpele geval met slechts één loon-goed (p.249). Overigens illustreren Heine en Herr hun betoog alleen met algemene plaatjes, en zien af van een concreet rekenvoorbeeld.
   Het valt daadwerkelijk niet mee om in de vak-literatuur een rekenvoorbeeld te vinden. Het aardige boekje Grundzüge der neoricardianischen Preis- und Verteilungs-theorie (2000, Metropolis-Verlag) van E. Feess-Dörr beschrijft de terug schakeling eveneens enkel algemeen (p.65 en verder). Bovendien worden de productie-coëfficiënten er zodanig genormeerd, dat ze allemaal kleiner zijn dan 1. Uw columnist vindt dat ietwat verwarrend.
   Een concreet rekenvoorbeeld is wèl te vinden in The production of commodities (1990, Macmillan Education Ltd) van J.E. Woods, op p.110 (voorbeeld 4). De waarden van de technische coëffinciënten deugen echter niet, want bij narekening blijken ze niet te leiden tot terug schakeling. In opgave 7 (p.124) wordt hetzelfde rekenvoorbeeld opnieuw genoemd, maar nu met andere waarden. Maar ook die waarden geven geen terug schakeling. Kennelijk wil Woods zijn lezer provoceren.
4. Ook op de weblog van Vienneau is veel lezens waardigs te vinden over dit soort fenomenen.
5. Zie p.110 en verder in The production of commodities (1990, Macmillan Education Ltd).
6. Onder neoricardiaanse economen is dit een bekende formule. Zie de introductie column over de theorie van Sraffa. Of p.66 in Grundzüge der neoricardianischen Preis- und Verteilungs-theorie van E. Feess-Dörr. Of p.120 in The production of commodities van J.E. Woods.
7. Stel men zoekt een looncurve met gegeven as-afsnedes w/p_g(r=0) en w/p_g(r)=0. Die randvoorwaarden leggen grenzen op aan de mogelijke waarden van Σ, Δ en Ψ. Toch is met behulp van de vergelijking 5a die exercitie nog wel te doen. De situatie wordt evenwel gecompliceerd door de eisen 5b-c, die de mogelijke waarden van Σ, Δ en Ψ inperken. Immers de coëfficiënten a_ij en a_k mogen niet negatief zijn. Dit leidt tot de extra eisen Δ ≤ a_gg × a_mm en Ψ ≤ a_mm × a_g (bij concave looncurven) of Δ ≤ 0 en Ψ ≤ 0 (bij convexe looncurven). Aan al deze beperkingen moet bij de berekening worden voldaan. De beperkingen door de coëfficiënten komen voort uit de aard van het productie-proces, en hebben geen logische wiskundige relatie met de functie 5a. Alleen al het verwerven van dit inzicht heeft flink wat tijd gekost. Laat staan het vinden van een oplossing. Je vraagt je af of er een methode bestaat om dit probleem op te lossen voor het geval met n dimensies. Een bijkomende complicatie is, dat uw columnist zijn zinnen had gezet op een combinatie van een concave en een convexe curve. Dat is niet gelukt. Het zijn twee convexe curven geworden. Uw columnist had dit kunnen weten, want op p.87 van The production of commodities is het no-reswitching theorema afgeleid. Volgens dat theorema is in een situatie als het huidige rekenvoorbeeld alleen terug schakeling mogelijk bij twee convexe looncurven of bij twee concave looncurven. Deze beperking hangt samen met de economische eis, dat de product prijzen in het schakel-punt gelijk moeten zijn.
8. Het resultaat is (w/p_g)^α(r) = (1 − 0.7143×r − 0.2857×r²) / (1 + 0.9286×r) en (w/p_g)^β(r) = (1.037 - 0.9817×r − 0.008521×r²) / (1 + 0.8995×r).
9. De simpelste manier om het stelsel 6a-b af te leiden is wellicht om het stelsel 5a-d ook op te schrijven voor w/p_m, en vervolgens het resultaat te delen door w/p_g.
10. Het resultaat is (p_m/p_g)^α(r) = (1.76 − 0.1014×r) / (1 + 0.9286×r) en (p_m/p_g)^β(r) = (1.756 - 0.1251×r) / (1 + 0.8995×r).

Aanhang: opmerkingen over de wiskunde bij Sraffa

Dankzij de wiskunde is het mogelijk om te beschrijven, hoe het rendement r en het loonpeil w economisch inwerken op elkaar en op de product-prijzen. Het economische systeem wordt voorgesteld als een wiskundig model. Men moet zich hierbij evenwel goed bewust zijn, dat de economische principes grenzen stellen aan de wiskundig mogelijke oplossingen. Bijvoorbeeld is er wiskundig geen enkel bezwaar tegen negatieve prijzen, maar economisch natuurlijk wèl. Deze aanhang baseert voornamelijk op het boek Vorlesungen zur Theorie der Produktion van L.L. Pasinetti. Hier en daar voegt uw columnist enkele eigen uitwerkingen toe.

Het is althans voor mensen met wiskundige affiniteit interessant en verrassend om na te gaan wat het stelsel 5 nou precies zegt over het gedrag van het loonpeil (w/p_g)(r). Dat loonpeil is uitgedrukt in de prijzen p(r), die op hun beurt zijn vastgelegd door de formule 4. In de formule 4 komt de inverse voor van de matrix (I − (1 + r) × A), waarvan de elementen lineair afhangen van r. Als men de inverse matrix berekent, dan moet er worden gedeeld door de determinant van (I − (1 + r) × A). De lezer kan dit naslaan in een boek over lineaire algebra en matrix-rekening, of even kijken in de eerdere column over de theorie van Sraffa. Met andere woorden, de prijzen zijn omgekeerd evenredig met de determinant van de matrix. In dit geval met matrix-elementen, die evenredig zijn aan r, wordt de determinant een polynoom van graad n in r. Daardoor krijgen de prijzen een polynoom van graad n in r als noemer. Aangezien in de looncurve het scalaire loonpeil w wordt gedeeld door een prijs, hier p_g, belandt dat polynoom van graad n in r daar in de teller.

Een polynoom van graad n heeft maximaal n nulpunten. Dat geldt daarom net zo voor het loonpeil (w/p_g)(r). Natuurlijk is een dergelijk gedrag van het loonpeil economisch onbegrijpelijk. Immers in het eerste nulpunt w/p_g(r₁) = 0 wordt het gehele netto product uitgekeerd als winst. Dan kan niet voor een nóg grotere r het loonpeil weer boven nul liggen. Dat wil zeggen, de formules 4 en 5 zijn economisch niet meer bruikbaar voor r-waarden voorbij het eerste nulpunt r=r₁. Er kan wiskundig worden bewezen, dat boven dat nulpunt de formule 4 leidt tot negatieve waarden van sommige prijzen. Zie p.98 en p.290 en verder in het boek van Pasinetti. Vanzelf sprekend moet men zich hiervan goed bewust zijn.

Zoals reeds is opgemerkt in de hoofdtekst van deze column toont het wiskundige model aan, dat de looncurve in het gebied van geldige r-waarden monotoon dalend is in r. De monotone afname verloopt golvend, overeenkomstig de kenmerken van de polynoom in r. Zie p.108 en p.296 in het boek van Pasinetti.

Figuur 4: Wiskundige looncurve
met asymptoot en twee snijpunten

Het rekenvoorbeeld met twee bedrijfs-takken, en dus met een dimensie n=2, geeft een boeiende illustratie van de wiskundige gedaante van de looncurve. Bij n=2 bevindt zich in de teller van de looncurve een polynoom van graad 2, dat twee nulpunten r₁ en r₂ heeft. In de noemer van w/p_g bevindt zich echter een lineaire functie van r. Deze gedraagt zich netjes tot aan het eerste nulpunt r₁, maar geeft voorbij r₁ aanleiding tot een asymptoot r=r_a. Dit verschijnsel wordt grafisch afgebeeld in de figuur 4.

In de figuur 4 deelt de asymptoot r=r_a het gebied van r-waarden in twee delen. Ter linkerzijde bevindt zich een concave looncurve (weg bollend van de as), en ter rechterzijde bevindt zich een convexe looncurve (naar de as toe bollend). Als r_a van de asymptoot een positieve waarde heeft, dan gedraagt de looncurve in het economisch relevante bereik van r-waarden zich concaaf. De asymptoot ligt dan voorbij r₁ van het eerste nulpunt. Dat is de situatie van de figuur 4. Als r_a van de asymptoot een negatieve waarde heeft, dan gedraagt de looncurve in het economisch relevante bereik van r-waarden zich convex.

Wat het daadwerkelijke gedrag is, dat hangt natuurlijk af van de coëfficiënten in het lineaire stelsel van de formule 4. Met andere woorden, de gekozen productie-techniek bepaalt waar de asymptoot gelegen zal zijn. Middels een wijziging van de techniek kan de looncurve in alle richtingen worden verschoven. Uw columnist heeft wat gespeeld met het stelsel 5 om een geval van reswitching te construeren, waarbij de ene looncurve concaaf is en de andere convex. Dat is mislukt. Volgens het zogenaamde no reswitching theorema kan het inderdaad niet, althans voor het geval met dimensie n=2. Zie p.87 en verder van The production of commodities. Maar in meer ingewikkelde gevallen, met vier of meer technieken, is het wel mogelijk.