Aantekeningen bij de open economie met variabele prijzen

Plaatsing in Heterodoxe Gazet Sam de Wolff: 7 augustus 2014

E.A. Bakkum is eindredacteur van de periodiek Sociaal Vooruit, en een betrokken PvdA lid. Hij is beroepsmatig werkzaam bij het Socialistisch Centrum, waar hij de functie van zaakwaarnemer vervult.

In het boek Economic policy: principles and design1 laat de bekende econoom Jan Tinbergen zien hoe de staat een beleid kan ontwikkelen om de economie te sturen. Het beleid bestaat uit een verzameling doelen, en de bijbehorende instrumenten. De huidige column beschrijft twee modellen met variabele prijzen en buitenlandse handel, waarmee het beleid kan worden geanalyseerd. Ook wordt er rekening gehouden met de prijs-elasticiteiten. Bovendien bevat het eerste model een systeem van belastingheffingen. De modellen zijn ontleend aan het zojuist genoemde boek.

In een eerdere column zijn enkele modellen van Tinbergen beschreven, die het Harrod-Domar model uitbreiden met prijs-effecten. Tinbergen presenteert de modellen voor het eerst in zijn boek Mathematical models of economic growth2. De huidige column breidt de modellen van de voorgaande column uit met nieuwe elementen, te weten de inkomensverdeling, de belastingheffing, en de arbeidsproductiviteit. Dat leidt weliswaar niet tot fundamenteel nieuwe inzichten, maar het onderbouwr wel duidelijk de veelheid aan mogelijkheden van de methode. Ter vereenvoudiging zal de productieve structuur niet in de modellen worden opgenomen. Dat betekent, dat er geen aandacht zal worden besteed aan de opbouw van de voorraad aan kapitaalgoederen. In alle gevallen is het systeem open, met internationale handel.


Één-sectoraal model met inkomensverdeling

Het uitgangspunt van elk één-sectoraal model van een open economie is de formule3

(1)     Y = C + I + EX − IM

In de formule 1 is Y het nationale inkomen, C is het aanbod van consumptie-goederen, I is het aanbod van investerings-goederen, EX is de export en IM is de import. Volgens Tinbergen behoort het model tot de micro-economie, omdat er een splitsing wordt gemaakt in de aard van de goederen. Uw columnist vindt het meer een macro-economisch model, omdat de productie-sfeer vrijwel geheel buiten beeld blijft.

De grootheden in de formule 1 stellen geldsommen voor. Zij zijn gerelateerd aan de bijbehorende fysieke grootheden c, i en ex via het algemene binnenlandse prijspeil p4. Met name geldt er dat C = p×c, I = p×i, en EX = p × ex. Met andere woorden, de consumptie-goederen en kapitaal-goederen hebben één prijspeil, en ook de exportprijzen zijn daaraan gelijk. Aldus bedraagt het totale materiële nationale product q = c + i + ex. Tinbergen neemt aan, dat de import voldoet aan IM = pIM × im = pIM × ι×q. Hier is pIM het prijspeil van de importgoederen, en ι=im/q is de invoerquote. Kennelijk leidt een groter nationaal product tot meer import. Merk op, dat hier de invoerquote apart wordt gerelateerd aan de fysieke grootheden. De prijsverhouding p/pIM (in de Engelse taal de terms of trade genoemd) speelt hoogstens indirect mee. Het verschil D = IM − EX wordt het tekort op de betalingsbalans genoemd.

Foto van tegel Sint Eloy
Figuur 1: Tegel Sint Eloy (1967)

Het binnenlandse prijspeil krijgt in het huidige model een gedaante, die al bekend is uit de eerdere columns over het thema, te weten

(2)     p = po × qμq × pLμL × pIMμIM

Het rechter lid van de formule 2 duidt men wel aan als een Cobb-Douglas functie. De formule 2 onderscheidt drie oorzaken van prijsopdrijving. Allereerst zal een vergroting van q zorgen voor stijgende onkosten. In feite is dit simpelweg inflatie, die wordt veroorzaakt door demand pull en cost push. Daarnaast wordt apart rekening gehouden met kostenstijgingen ten gevolge van de stijging van het loonpeil pL, ook wel looninflatie genoemd. En tenslotte kunnen de kosten stijgen, wanneer de import duurder wordt, waardoor er inflatie wordt geïmporteerd. De constante coëfficiënten μq, μL en μIM zijn de respectievelijke prijs-elasticiteiten5. Al komt de prijs-elasticiteit μex van de export niet voor in de formule 2, zij is uiteraard wèl relevant voor de grootte van q.

In het model wordt de consumptie verdeeld over drie maatschappelijke groepen, te weten de publieke sector, de loonafhankelijke werkers, en de kapitalisten met een arbeidsloos inkomen. Een dergelijke C, die rekening houdt met de publieke sector, wordt de consumptie tegen factorkosten genoemd6. De publieke sector haalt zijn inkomsten onder andere door een omzetbelasting τi te heffen (i van indirect). Deze belasting wordt doorberekend aan de verbruikers, zodat het prijspeil op de markt p+τi is7. Overigens hoeft, zoals bekend is, deze belasting niet te worden betaald bij investerings-goederen of bij export-goederen. Dien ten gevolge heeft de consumptie tegen marktprijzen een waarde Γ = (1 + τi/p) × C. Zo men wil kan het prijspeil op de verbruikersmarkt worden gedefinieerd als p' = p + τi, waarna de consumptie tegen marktprijzen is te herschrijven tot

(3)     Γ = p' × c

Nu kan de inkomensverdeling nader worden uitgesplitst. De totale bruto loonsom bedraagt W = pL × ν×L, waarin ν de werkgelegenheid voorstelt, als de fractie van de totale beroepsbevolking L. Het symbool W staat voor het Engelse woord wage. De werkers kunnen dit inkomen niet helemaal naar believen besteden, omdat zij van pL een loonbelasting τL moeten afdragen aan de staat. Gemakshalve wordt hier verondersteld, dat zij de afdracht weer helemaal terugkrijgen in de vorm van allerlei overheidsdiensten. De overheid consumeert bovendien een gegeven hoeveelheid Co. Het totale arbeidsloze inkomen bedraagt P = Y − W (P van het Engelse woord profit). Tinbergen stelt de belastingdruk op P gelijk aan θP, in dit geval wèl als een fractie van P. De kapitalisten krijgen dit niet terug in de vorm van overheidsdiensten. Met andere woorden, de kapitalisten houden een netto inkomen (1 − θP) × P over8.

Vervolgens kan de totale bestedings- of consumptie-functie worden afgeleid. Er wordt verondersteld, dat de overheid en de werkers hun hele inkomen besteden aan consumptie-goederen. Echter de kapitalisten zullen slechts een deel van hun netto inkomen consumeren, te weten γ × (1 − θP) × P. In deze uitdrukking is γ de zogenaamde consumptiequote van de kapitalisten. De kapitalisten investeren vervolgens datgene wat er nog overblijft van hun inkomen. In dit model zijn dus de kapitalisten de enigen, die daadwerkelijk investeren - tenzij men ook in Co een investeringscomponent zou willen onderscheiden. Aldus krijgen de totale maatschappelijke consumptie-functie en investerings-functie de gedaanten

(4a)     Γ = Co + W + γ × (1 − θP) × P
(4b)     I = (1 − γ) × (1 − θP) × P

Desgewenst kan men nog de arbeidsproductiviteit toevoegen aan het model, in de gedaante ap = ν×L/q. Verder moet worden opgemerkt, dat de prijs-elasticiteit μx van één of andere grootheid x is gedefinieerd als -∂x/∂p / (x/p). Hier dient het min-teken om de elasticiteit positief te maken, althans wanneer wordt aangenomen dat een stijgende prijs nadelig inwerkt op de grootte van x. Aldus kan men met behulp van de prijs-elasticiteit μex van de export afleiden dat er moet gelden ex = exo × p-μex. Hierin is exo een evenredigheids-constante. Daarmee is het model wiskundig voltooid. Het aardige aan dit model is dat al deze formules zodanig kunnen worden herordend, dat de berekening van alle grootheden vrij eenvoudig wordt.

De zojuist genoemde herordening gaat als volgt. De beleidsmaker kiest een aantal grootheden, die zullen dienen als beleidsdoelen. Naarmate er meer doelen worden geselecteerd, zullen er ook meer beleidsinstrumenten moeten worden ingezet. De trouwe lezer herkent deze vuistregel uit de eerdere column over modellen met een geldmarkt. Maar daar is het aantal beleidsdoelen gering, namelijk slechts twee. Hier zal dat aantal worden uitgebreid, tot vier doelen. Begin bijvoorbeeld met de werkgelegenheid ν als de eerste grootheid en beleidsdoel:

(5a)     q = ν × L / ap
(5b)     im = ι × q
(5c)     IM = pIM × im

Foto van vork FNV Bouw
Figuur 3: Gebaksvork
     FNV Bouw

Kennelijk geldt q = q(ν), im = im(ν) (want im = im(q)), en IM = IM(ν). Al deze grootheden volgen direct uit ν, want Tinbergen neemt voor L, ap, ι en pIM constante waarden. Als de waarde van het doel ν is gekozen, dan liggen de grootheden uit de groep [q, im, IM] vast. Tinbergen vindt ze echter niet zo handig om te gebruiken als instrument. Daarom wordt eerst een tweede grootheid en beleidsdoel toegevoegd, naast ν, en wel het tekort D op de betalingsbalans. Immers dat moet worden gestuurd, omdat een duurzaam tekort economisch niet is te handhaven. Er volgt:

(5d)     EX = IM − D
(5e)     p = EX / ex
(5f)     ex = exo × p-μex

Kennelijk is EX = EX(ν, D). De formules 5e en 5f zijn onderling gekoppeld. De formule 5f drukt uit, dat er geldt ex = ex(p). Dien ten gevolge is de formule 5e gelijk aan p = p(EX, ex(p)), en daaruit volgt dat p = p(EX) = p(ν, D). Dan is tevens ex = ex(ν, D). De keten gaat verder:

(5g)     pL = pL(p, q) (wegens de formule 2)
(5h)     Y = p × (q − ex) − D
(5i)     W = pL × ν × L
(5j)     P = Y − W

Aldus is pL = pL(ν, D), Y = W(ν, D), W = W(ν, D) en P = P(ν, D). In de groep [EX, p, ex, pL, Y, W, P] ontwaart Tinbergen een bruikbaar instrument, namelijk het loonpeil pL. Maar de andere grootheden uit de groep lenen zich matig voor de rol van instrument. Als derde grootheid en beleidsdoel wordt het fysieke investeringsvolume i gekozen, omdat die doorwerkt in de economische groei. Daarna kan de berekening worden voortgezet:

(5j)     I = p × i
(5k)     c = q − i − ex
(5l)     C = p × c
(5m)     θP = 1 − I / ((1 − γ) × P)

Klaarblijkelijk vertoont deze groep van grootheden het gedrag I = I(ν, D, i), c = c(ν, D, i), C = C(ν, D, i), en θP = θP(ν, D, i). In de groep [I, c, C, θP] zit duidelijk een goed instrument, te weten de belastingsdruk θP op de arbeidsloze inkomens. Immers die wordt zonder omwegen door de staat zelf opgelegd. De vierde en laatste toegevoegde grootheid en beleidsdoel wordt het binnenlandse prijspeil p'. Die is belangrijk om de prijzen stabiel te houden, zodat de inflatie wordt beteugeld. Uit de definitie van p' vindt men direct

(5n)     τi = p' − p

Daarna volgt ook nog

(5o)     Γ = p' × c
(5p)     Co = Γ − W − γ × (1 − θP) × P

Dat wil zeggen, er geldt dat τi = τi(ν, D, p'), Γ = Γ(ν, D, i, p'), en Co = Co(ν, D, i, p'). Ook hier ligt de keuze van een instrument voor de hand, namelijk de omzetbelasting τi. Bovendien vormen de overheidsbestedingen Co een bruikbaar instrument, omdat de staat die goed kan beheersen. Aldus laat Tinbergen zien, dat de beleidsdoelen van werkgelegenheid, een evenwichtige betalingsbalans, het fysieke investeringsvolume en het prijspeil voor verbruiksgoederen kunnen worden gerealiseerd door de juiste waarden te nemen voor het loonpeil, de overheidsbestedingen, en twee typen van belastingdruk (te weten direct en indirect).

Tinbergen geeft op p.122 van zijn boek Economic policy: principles and design een pijlschema, waarin de oorzakelijke keten 5a-p is afgebeeld. Hij voegt daaraan een zogenaamde ordening van Simon toe. Hoewel dat schema zeker instructief is, laat uw columnist het achterwege, omdat het enigszins lastig is te tekenen. Zowel het schema als de ordening van Simon laten nogmaals de causale verbanden in de keten zien. Uitgaande van q in de formule 5a eindigt men tenslotte bij Co in de formule 5p. Als het ware vormen de beleidsdoelen de startpunten van het rekenschema, en de beleidsinstrumenten vormen de eindpunten.

Tekst van een gelineariseerd economisch model
Figuur 3: Model na linearisatie

De ordening van Simon verwijst naar de kritische padlengte in het schema. Aldus heeft het langste pad negen schakels: q → im → IM → EX → p → pL → W → P → θP → Co. In dit pad heeft q de nulde orde, en Co de negende orde. Men begint de constructie van het pad aan het uiteinde ervan. Aldus hebben sommige paden geen schakels van de laagste orden (0, 1, 2 enzovoort). Merk op, dat het model in totaal 17 variabele grootheden hanteert, namelijk q, im, IM, EX, p, ex, pL, Y, W, P, I, c, C, θP, τi, Γ, en Co.

Tinbergen toont aan, dat het stelsel 5a-p kan worden vereenvoudigd door alle grootheden X te ontwikkelen naar een afgebroken reeks rond een startwaarde X(0) op t=0. De veronderstelling is, dat deze startwaarden X(0) allemaal gegeven zijn. Een periode Δt later zal er gelden X(Δt) = X(0) + ΔX. Het blijkt, dat al de formules 5a-p een lineaire gedaante aannemen, indien zij worden uitgedrukt in de verandering ΔX in plaats van in X zelf. Daarbij wordt verondersteld, dat ΔX klein is in verhouding tot X, en dien ten gevolge allerlei kwadatische termen ΔX1 × ΔX2 mogen worden verwaarloosd (klein in het kwadraat is niets). Evenzo wordt ΔX / X(Δt) vervangen door ΔX / X(0). En zo voort. In deze aanpak moet niet meer X(Δt) worden berekend, maar ΔX. Het voordeel van lineaire verbanden is uiteraard dat zij handig zijn om mee te rekenen. Bovendien zijn beleidsmakers juist vaak geïnteresseerd in de veranderingen.

In plaats van de zonet genoemde 17 variabele grootheden zijn er nu 17 veranderingen, zeg ΔXk, met k = 1, ..., 17. Dit kan worden opgevat als een vector ΔX. Tinbergen laat zien, dat de vector voldoet aan de vectorvergelijking B = A · ΔX. In deze vergelijking is B een vector, die de beleidsdoelen bevat, en verder allemaal nullen. Het symbool A stelt een 17×17 matrix voor, die bijna een driehoeks-gedaante heeft (allemaal nullen boven de diagonaal). In de figuur 1 zijn de componenten en elementen van B, A en ΔX afgebeeld. Nu kan ΔX worden berekend uit A-1 · B, waarin A-1 de inverse matrix van A is. Het nadeel van deze linearisatie-methode, die Tinbergen overigens vaak toepast in zijn boek, is dat de relaties er nogal rommelig door worden en hun vanzelfsprekende logica verliezen.


Meersectoraal model met productiviteitsveranderingen

Deze paragraaf behandelt een model, waarin de arbeidsproductiviteit ap veranderlijk is. Aangezien er meerdere sectoren n zijn (n = 1, ..., N), wordt het systeem beschreven op het micro-economische niveau9. Het model dient vooral om te laten zien welke gevolgen een stijgende ap heeft voor de economie. Natuurlijk is het voordeel, dat de goederen goedkoper worden, waardoor de koopkracht van het inkomen stijgt. Echter een verrassend nadeel is dat het binnenlandse prijspeil p daalt, want daarmee wordt de handelsvoorwaarde p / pIM (in de Engelse taal terms of trade) slechter10.

Het nationale inkomen is

(6)     Y = Σn=1N (Xn + EXn − IMn)

In de formule 6 stelt Xn het binnenlandse verbruik van het product n voor. Er wordt geen onderscheid gemaakt tussen consumptie en investeringen. Tinbergen neemt aan dat de bestedingsfunctie wordt gegeven door Xn = ξn × Y, waarin ξn de bestedingsquote voor het product n is. De overige termen in de formule 6 representeren de export en de import.

Uiteraard kunnen alle grootheden worden omgerekend naar de bijbehorende fysieke grootheden. Zo is het fysieke verbruik gelijk aan xn = Xn / pn, waarbij pn de marktprijs is voor het product n. Evenzo is de fysieke export gelijk aan exn = EXn / pn. Bij de omrekening van de import moet men de importprijs pIM gebruiken, zodat dan geldt imn = IMn / pIM,n. Definieer nog qn = xn + exn, dan is imn = ιn × qn, met ιn de importquote van product n. Uiteraard varieert de buitenlandse vraag naar het product n met de productprijs, en dit marktgedrag wordt beschreven door de prijs-elasticiteit μn van de export. Het tekort op de betalingsbalans is D = Σn=1N (IMn − EXn).

De arbeidsproductiviteit apn is gedefinieerd als qn / Ln, waarin Ln het aantal werkers is in de sector n. Stel dat de productiviteit apn stijgt terwijl de productiekosten niet veranderen. Dan nemen xn en exn toe, maar Xn en EXn niet. Met andere woorden, pn verandert omgekeerd evenredig met apn. In wiskundige termen is dat pn = po,n / apn, waarin po,n een juist gekozen constante is. Met deze opmerking is het model voltooid. De rest is louter de uitwerking van de voorgaande formules.

Enig simpel herschrijven leidt tot11

(7)     IMn = ιn × (pIM,n / pn) × (Xn + EXn)

Gebruik de formule 7 om IMn te elimineren uit de formule 6. Dan volgt er

(8)     Y = Σn=1N (1 − ιn × (pIM,n / pn)) × (Xn + EXn)

Foto van bord DGB
Figuur 4: Bord DGB

De formule 5f is ook hier nuttig om exn te berekenen, en daarmee tevens EXn. Invullen van deze EXn en van Xn = ξn×Y leidt, na enig herschrijven, tot

(9)     Y = [Σn=1N (1 − ιn × (pIM,n / pn)) × exo,n × pn1-μn] / [1 − Σn=1N (1 − ιn × (pIM,n / pn)) × ξn]

Duidt de term in de teller aan met het symbook Λ. Met andere woorden, zij

(10)     Λ = Σn=1N (1 − ιn × (pIM,n / pn)) × exo,n × pn1-μn

Dan geldt er wegens de formule 6 dat

(11)     D = Y × (-1 + Σn=1N ξn) = Λ × [-1 + Σn=1N ξn] / [1 − Σn=1N (1 − ιn × (pIM,n / pn)) × ξn]

Tinbergen past het model toe op de situatie, waarin de beleidsmaker de werkgelegenheid en de evenwichtige betalingsbalans uitkiest als zijn beleidsdoelen. Hij wil als instrumenten de arbeidsproductiviteit in twee sectoren gebruiken, bijvoorbeeld n=1 en n=2. Dan kan het betoog zich verder beperken tot deze twee sectoren. Uw columnist is zo brutaal om voor de rest van het betoog af te wijken van de uitleg in Economic policy: principles and design. De argumentatie wordt als volgt: stel dat Σn=1N ξn > 1. Dan zal blijkens de eerste stap van de formule 11 de grootheid D positief moeten zijn. Er is een tekort. Veronderstel gemakshalve dat ook Λ positief is. Dat is bijvoorbeeld het geval indien er geldt ιn × (pIM,n / pn) < 1 voor alle n. Dan betekent de beteugeling van het tekort, dat Λ moet worden verkleind.

Wat is nu het effect van een verhoging van de productiviteit apn op Λ en D? Zij zal de productprijs pn neerdrukken. Daardoor wordt in de formule 10 de factor (1 − ιn × (pIM,n / pn)) kleiner. Maar het effect van de lagere pn op pn1-μn is minder duidelijk. Bij een prijselasticiteit μn < 1 zal ook deze term kleiner worden. Zodra evenwel voor de elasticiteit geldt μn > 1, zal deze term juist toenemen. Dit kan er zeer wel toe leiden, dat wegens de stijgende productiviteit Λ groter zal worden, en dus ook het tekort D. Met andere woorden, ondanks de toenemende efficiëntie van de binnenlandse productie wordt de handel met het buitenland ondermijnd!

Beschouw vervolgens het tweede beleidsdoel, dat van de werkgelegenheid L. Zij is12

(12)     L = Σn=1N qn × pn / pon

In de voorgaande berekeningen is al aangetoond dat er geldt qn = Y × ξn / pn + exon × pn1-μn. Kennelijk is dan

(13)     L = Y × Σn=1Nn / pon) + Σn=1N (exon / pon) × pn1-μn

Wat is het effect van de verhoging van de productiviteit op L? Enerzijds zal de verlaging van Λ, die nodig is om D te beteugelen, blijkens de formule 9 en 10 óók Y neerdrukken. De eerste term in de rechterzijde van de formule 13 neemt dan af. Bij de tweede term in de rechterzijde zijn twee mogelijkheden. Als geldt μn < 1, dan zal de stijging van de productiviteit ook deze term neerdrukken. De werkgelegenheid neemt dan duidelijk af. Als evenwel geldt μn > 1, dan zal de tweede term stijgen. De wisselwerking van de twee termen ter rechterzijde in de formule 13 zal dan bepalen hoe de werkgelegenheid L zich ontwikkelt.

Samenvattend: men zou denken, dat de stijging van de productiviteit leidt tot een grotere productvraag vanuit het buitenland, en tot meer export. Echter de dalende productprijs ondermijnt de terms of trade, waardoor ondanks de fysiek (materieel) aantrekkende export het tekort op de betalingsbalans toeneemt. Ook de werkgelegenheid kan inkrimpen. De verrassende uitkomsten van dit model zijn een waarschuwing om in de beleidsanalyse steeds kritisch te blijven kijken naar al de oorzakelijke verbanden in het systeem. En hoewel Tinbergen dat niet noemt, moet ook steeds worden onderzocht in hoeverre de model-abstractie zèlf leidt tot onwerkelijke inzichten.

  1. Zie Economic policy: principles and design (1967, North-Holland publishing company) van J. Tinbergen.
  2. Zie Mathematical models of economic growth (1962, McGraw-Hill Book Company, Inc.) van J. Tinbergen en H.C. Bos.
  3. Deze paragraaf is gegrondvest op de theorie op p.255-259 in Economic policy: principles and design. Tinbergen bespreekt enkele beleidstoepassingen van het model op p.116-124.
  4. In de eerdere column over de open economie met variabele prijzen worden de symbolen iets anders gedefinieerd. De huidige columm volgt in grote lijnen de notatie, die Tinbergen zelf gebruikt in Economic policy: principles and design.
  5. Tinbergen laat in zijn betoog de importprijs pIM constant, zodat die hier feitelijk irrelevant is. Gemaks halve zou men kunnen aannemen dat pIM=1. Echter uw columnist vindt het toch leerzaam, om pIM hier expliciet te vermelden als een invloedsfactor.
  6. Uw columnist heeft hier nog even p.36 in Macro-economie en bedrijfsomgeving (2000, Wolters-Noordhoff bv) van A.J. Marijs en W. Hulleman nageslagen.
  7. Merk op, dat Tinbergen hier kiest voor een wat ongewone schrijfwijze, omdat men normaler wijze liever rekent met de belastingdruk τi/p in plaats van met τi zelf.
  8. Er schuilt veel maatschappelijke ellende achter dit verdelingsvraagstuk. De Vlaamse zanger Wannes van de Velde leerde van zijn vader het lied Werkman, komaan ...: Pas veertien jaar en d'arme kleine / van 's morgens vroeg naar de fabriek, / of in het diepste van de mijnen, / ofwel leert hij de mechaniek. / Hij is de oudste en wil trachten, / al is hij waarlijk nog niet groot, / thuis de ellende te verzachten, / mee te verdienen een stuk brood. / Werkman, komaan, leer uw vak aan. / Geld hebt gij niet voor handelszaken, / daar zult gij nooit aan geraken. / Mijn zoon, mijn kind, uw leed begint. / Al besteedt gij uw beste krachten, / toch staat u zorg en leed te wachten.
  9. Deze paragraaf is gegrondvest op de theorie op p.261-262 in Economic policy: principles and design. Tinbergen bespreekt de beleidstoepassing van het model op p.129-132. Gemakshalve beperkt hij zich tot twee sectoren, maar uw columnist vindt het algemene geval met N sectoren leerzamer. Daarom is de inhoud van de paragraaf dien overeenkomstig aangepast.
  10. De Duitse zanger Franz-Josef Degenhardt wijst in zijn lied Natascha Speckenbach nog op een ander nadeel: Und Fließband fließt quer durch den Bauch und das schon nach der halbe Schicht. / Nämlich achttausend Stück pro Frau, so geht das einfach nicht. / An einem Montagsmorgen da kommen vom Büro ein paar Herren / Mit Stoppuhr und so weiter mal wieder die Stückzahl vermehren. / Den Fall hatte Natascha Speckenbach besprochen mit einigen Frauen / Und so lief denn auch das weitere genau nach besprochenem Plan. / Natascha hat geschrieen: "Ihr wollt uns kaputt machen, Ihr!" / Da drehten alle Herren den Kopf mit dem Ruck zu ihr. / Und weil keiner hinten Augen hat zersplitterten mit einem Schlag / So hundert Lampenbirnen hell wie der lichte Tag. / Das sagt Natascha Speckenbach mit Haaren wie Tomatensaft. / Und die kennt Marx und Engels und wie man es richtig macht.
  11. Immers IMn = pIM,n × imn. En imn = ιn × qn = ιn × (xn + exn) = ιn × (Xn + EXn) / pn.
  12. Immers L = Σn=1N Ln = Σn=1N qn / apn = Σn=1N qn × pn / pon.