Figuur 1: isonutsmappen: (a) convex; (b) nutsberg
De neoklassieke theorie veronderstelt dat het arbeidsloon en de vrije tijd zich redelijk lenen voor substitutie. In deze column wordt uitgelegd, hoe volgens R. Layard de substitutie irrationeel verloopt, wegens de menselijke rivaliteit en gewenning. Ook wordt een model behandeld van een CAO onderhandeling met het arbeidsloon en de vrije tijd als inzet. Het herinnert aan het werk van Sam de Wolff. Tenslotte wordt uit de gelukseconomie beschreven hoe Van Praag de metingen van menselijke voorkeuren analyseert met de probit methode.
In een eerdere column is beschreven hoe de neoklassieke theorie het aanbod van arbeidskracht op de arbeidsmarkt modelleert. De hoogte van het arbeidsloon w en de vrije tijd tv zijn uitwisselbaar, althans tot op een zekere hoogte. Wie meer vrije tijd wenst, zal korter werken, wat zich vertaalt in een lager inkomen. Aldus moet elke arbeider voor zichzelf bepalen welke combinatie van tv en w hem of haar het liefst is. De persoonlijke voorkeur wordt mathematisch weergegeven door de nutsfunctie u(tv, w). Stel dat de arbeider in totaal beschikt over een tijd T om te besteden naar eigen keuze. Dat wil zeggen, uit T zijn de absoluut noodzakelijke bezigheden zoals een minimale rusttijd en etenstijd al verwijderd. Dan is de vrije tijd gelijk aan tv = T − ta, waarin ta de arbeidstijd voorstelt.
Voorts dient men zich te realiseren, dat het inkomen w enkel een afgeleide grootheid is. Wat de arbeider werkelijk interesseert, dat is zijn consumptie c. Daarom zal in de huidige column verder vaak worden gesproken over de grootheid c, met de stilzwijgende aanname dat c = w. Bovendien wordt verondersteld, dat er slechts één consumptiegoed bestaat. Want zodra er meerdere consumptiegoederen zijn, zal een wijziging in het inkomen onvoorspelbaar doorwerken in de prijzen van die goederen. Die prijswijzigingen hebben invloed op het consumptiegedrag, inclusief de keuze voor vrije tijd. Daarmee is in een meer-goederen economie de vrije tijd tv even onvoorspelbaar als de prijzen. Naast deze fundamentele beperking lijdt het neoklassieke model voor de arbeidsmarkt onder diverse andere gebreken. Voor meer informatie zij de geïnteresseerde lezer verwezen naar de zonet genoemde column. Men moet het model niet al te serieus nemen, want het is een abstractie. Als zodanig helpt het om de gedachten te ordenen.
In de genoemde column is het indifferentie-veld of isonutsveld van u(tv, c) geschetst. Naarmate de theorie abstracter wordt en meer wiskundige formules gebruikt, kan zij meer wetmatigheden afleiden. Helaas neemt dan tevens het realiteitsgehalte ervan af. Aldus wordt vaak verondersteld, dat de voorkeuren goedgezind zijn (of gewenst; in de Engelse taal desirable) en convex1. De aanname van een goedgezinde voorkeur betekent, dat een vergroting van de hoeveelheid consumptiegoed altijd meer nut oplevert. De aanname van een convexe voorkeur verwijst naar de bereidheid om twee consumptiegoederen uit te ruilen. Neem het voorbeeld u(tv, c), zoals in de figuur 1a. Op een isonutscurve is u constant, met andere woorden, de arbeider kan tv en c uitruilen (ook wel substitueren genoemd) zonder dat zijn nut u verandert. In de eerder genoemde column is aangetoond, dat de substitutieverhouding gelijk is aan MSV = ∂c/∂tv = -(∂u/∂tv) / (∂u/∂c). De convexe voorkeur wordt er nu door gekenmerkt, dat MSV in absolute waarde kleiner wordt naarmate tv toeneemt.
De convexiteit kan als volgt aannemelijk worden gemaakt. Wegens de goedgezinde voorkeur zijn ∂u/∂tv en ∂u/∂c allebei positief. Dien ten gevolge is MSV negatief, dat wil zeggen, meer vrije tijd leidt tot minder consumptie. Naarmate de consumptie schaarser wordt, is de arbeider minder geneigd om een extra eenheid consumptiegoed af te staan. Hij wil ter compensatie veel extra tijd vrijaf hebben. En die omstandigheid verlaagt zijn MSV. In geval van convexiteit is kennelijk MSV in absolute waarde een dalende functie van tv. De MSV wordt marginaal genoemd, omdat zij opgaat voor een marginale verandering. Men kan de convexe voorkeur uitleggen als een hang naar diversiteit. De arbeider is niet geneigd tot extremen, maar wil de bevrediging van al zijn behoeften in balans houden.
Op het eerste gezicht lijken de veronderstellingen van goedgezinde en convexe voorkeuren redelijk. Echter al in 1854 heeft de grondlegger van de neoklassieke theorie, Hermann H. Gossen, kritiek geleverd op deze twee abstracties. Namelijk, als iemand te veel krijgt van een bepaald consumptiegoed, dan slaat het nut ervan om in een belasting. Dan wordt het zogenaamde grensnut ∂u/∂c negatief. Deze eigenschap geldt eveneens voor de vrije tijd, omdat arbeiders wel degelijk vreugde beleven aan hun werk, althans zolang de werktijd ta binnen de grenzen blijft. Aldus is in een voorgaande column geconcludeerd, dat in werkelijkheid de isonutscurven ellipsvorming zijn. In feite stelt het indiffentieveld een nutsberg voor, zoals in de figuur 1b.
Daadwerkelijk treft men de nutsberg aan in de verhandelingen van de Nederlandse econoom Sam de Wolff, die de ideeën van Gossen grotendeels overneemt. Dit blijkt uit de column over de arbeidswaardeleer van De Wolff. Daarin neemt De Wolff aan dat de arbeidsproductiviteit constant is. Dan krijgt de nutsfunctie de gedaante2
(1) u(tv, c) = γ − α1 × (tv − α2)² − β1 × (c − β2)²
De formule 1 toont aan, dat in geval van positieve constanten de isonutscurven de gedaante aannemen van ellipsen in het (tv, c) vlak. De nutsberg bereikt zijn top u=γ in (α2, β2). Hierbij zij direct aangetekend, dat het model van De Wolff een zogenaamde Robinsonade is, die de situatie weergeeft van een geïsoleerde individu. Natuurlijk is die toestand uitzonderlijk, en niet representatief voor de economie. Des al niettemin is zijn model aardig, omdat het zo goed de complexiteit van voorkeuren illustreert. Blijkens de formule 1 zijn de isonutscurven niet meer convex, indien tv ≥ α2, of c ≥ β2. In die gevallen gedraagt de marginale substitutieverhouding MSV zich uitzonderlijk. Bovendien kan zich op de lagere isonutscurven de situatie voordoen, dat er geldt tv=0 of c=0. In zo een situatie wordt de schaarste van een goed nooit zo nijpend, dat de MSV in absolute waarde nadert naar oneindig of nul. De werker is dan bereid om een extreem te kiezen.
Kortom, het is hachelijk om de menselijke voorkeuren te abstraheren. Met deze kanttekening zullen in het vervolg tòch twee modellen van de arbeidsmarkt worden behandeld, die de nutsfunctie u(tv, c) zeer versimpelen. Namelijk, zij veronderstellen dat3
(2) u(tv, c) = tv1 − δ × cδ
In de formule 2 is δ een constante met waarden tussen 0 en 1. Hij meet het materialisme van de arbeider. Immers bij δ=1 telt voor hem of haar enkel de consumptie. Dit type functie wordt aangeduid als een Cobb-Douglas functie. De formule 2 stelt een nut voor, dat goedgezind is. Immers ∂u/∂c = δ×u / c en ∂u/∂tv = (1 − δ)×u / tv. Bovendien vertoont het nut een convex gedrag, want op een isonutscurve is MSV = -(c/tv) × (1 − δ)/δ. Bij een toenemende tv zal deze substitutieverhouding dalen in absolute waarde. Aldus representeert de Cobb-Douglas functie een theoretisch handzame nutsfunctie.
De huidige paragraaf is ontleend aan de bijdrage van de econoom R. Layard in het boek Economics and happiness4. De tekst van Layard valt in de categorie gelukseconomie. Hij bestudeert in zijn bijdrage twee vormen van irrationeel gedrag op de arbeidsmarkt, te weten de rivaliteit en de aanpassing. Zij zijn er allebei een gevolg van, dat werkers hun inkomen vergelijken met dat van mensen in hun eigen omgeving, de zogenaamde referentiegroep. Beschouw allereerst de rivaliteit, die wordt geprikkeld door de verschillen in inkomens. Een werker, die relatief weinig verdient ten opzichte van zijn referentiegroep, raakt ontevreden en zal daardoor geneigd zijn om harder te gaan werken.
Layard velt een negatief oordeel over de rivaliteits-impuls. Namelijk, naarmate de ontevreden werker zijn inkomen verbetert, zullen op hun beurt de andere mensen in zijn referentiegroep ontevredener worden. Ook zij worden aldus gemotiveerd om harder te gaan werken. Als al deze mensen zich zouden realiseren, dat zij zich laten opjutten door de wederzijdse rivaliteit, dan zouden ze allemaal minder hard kunnen werken, en daarbij toch ongeveer even tevreden blijven. Layard wil dit fenomeen van irrationeel gedrag analyseren, en ontwikkelt daarvoor een model op basis van de nutsformule 2.
Layard meent dat wegens de invloed van rivaliteit in de formule 2 niet de consumptie c van de werker moet worden ingevuld, maar zijn consumptie ten opzichte van het gemiddelde consumptiepeil cgem in de groep van de werker. Om precies te zijn, hij vervangt de formule 2 door
(3) u(tv, c) = tv1 − δ × (c − β×cgem)δ
De constante β in de formule 3 is een positieve weegfactor van het gemiddelde consumptiepeil, die de mate van rivaliteit uitdrukt. De formule 3 heeft geen theoretisch gerechtvaardiging, maar is louter empirisch. De rivaliteit haalt een stukje af van de consumptietevredenheid, en wel meer naarmate β×cgem/c groter is. De consumptie van de werker wordt gegeven door c = w×ta = w × (T − tv). De werker zal nu de tijd tv kiezen, die zijn nut optimaliseert. In het nutsmaximum moet zijn voldaan aan ∂u/∂tv = 0. Men ziet aan de formule 3 dat het maximum wordt bereikt voor5
(4) tv = (1 − δ) × (T − β × cgem / w)
Dat wil zeggen, als β=0 (geen rivaliteit), dan ligt het maximum bij ta = δ×T. Echter als β>0, en er dus rivaliteit optreedt, dan vermindert de arbeider zijn vrije tijd. Zijn arbeidstijd neemt toe met (1 − δ) × β × cgem/w. Zonet is reeds vastgesteld, dat hij daarmee zijn groep minder tevreden maakt. Stel dat de totale groep van de werker bestaat uit N mensen. Dan verhoogt elke extra eenheid consumptie van de werker het gemiddelde levenspeil cgem met 1/N. Daardoor verliest elk van de andere groepsleden (1/N) × ∂u/∂cgem aan tevredenheid. Als men al de verloren tevredenheid op cardinale wijze optelt, dan verliest de groep als geheel ∂u/∂cgem aan tevredenheid.
Een ander irrationeel gedrag is de aanpassing of gewenning aan een verbetering van het inkomen. Dit verschijnsel wordt veroorzaakt doordat mensen geneigd zijn om hun referentiegroep aan te passen, nadat zij meer zijn gaan verdienen. Indertijd heeft de Nederlandse econoom B. van Praag dit fenomeen de benaming preferentie drijven gegeven. Mensen zijn zich vooraf slecht bewust van het feit, dat zij na een verbetering van het inkomen hun behoeften gaan aanpassen. Daardoor hechten zij vooraf meer waarde aan de loonstijging dan feitelijk is gerechtvaardigd. Ook dat prikkelt de mensen nodeloos tot hard werken.
Layard analyseert de gewenning door het leven van de werker onder te verdelen in perioden π. Hij meent dat in een dynamische situatie de werker zijn nut u(π) niet optimaliseert per periode, maar de verzamelde nutten over zijn levensloop. Bovendien hebben mensen hun nut het liefst zo snel mogelijk, met als gevolg dat de nutten van perioden in de verre toekomst worden afgewaardeerd ten opzichte van het heden. Stel dat de werker vanaf heden nog ω perioden zal beleven, dan wordt zijn totale levensnut U = Σπ=0ω u(π) / (1 + r)π. De factor r is de discontovoet van het nut voor de des betreffende werker. Gemaks halve definieert Layard R = 1/(1+r). De werker optimaliseert nu zijn levensnut U door alle periodieke grensnutten ∂U/∂tv(π) te berekenen.
Eerlijk gezegd levert de manier waarop Layard het preferentie drijven analyseert niet veel bruikbare inzichten. Sterker nog, zij roept tal van vragen op, zodat de lezer wellicht beter kan overstappen naar de volgende paragraaf. Des ondanks volgt hier voor de fanatici toch zijn betoog. In het meest algemene geval is het loon in de periode π gelijk aan w(π). Het vormt een bron van consumptie ter grootte van w(π) × (T − tv(π)). Bovendien kan de werker een deel van zijn inkomen sparen, om alsnog te besteden in een volgende periode. Daarmee worden het loon en de consumptie enigszins ontkoppeld. Men kan de verandering van de consumptie bij aanvang van een periode π definiëren als Δc(π) = c(π) − c(π-1). Wegens de gewenning zal het genout van een positieve Δc voor een deel weer verloren gaan. Op die manier komt Layard tot de nutsfunctie6
(5) u(tv(π), c(π), c(π-1)) = tv1 − δ × (c(π) − γ×c(π-1))δ
In de formule 5 is γ een empirische constante. Uiteraard is ook deze formule meer empirisch dan theoretisch, net zoals de formule 4, en trouwens de Cobb-Douglas relatie zelf. Dankzij de formule 5 kan Layard nu ∂U/∂tv(π) berekenen. Dat gaat als volgt. Elke tv(π) komt twee keer voor in U, te weten als beginpunt van de periode en als eindpunt. Daardoor zijn bij differentiatie naar tv(π) slechts twee termen in U ongelijk aan nul, waarbij de hoogste nog wordt afgewaardeerd met R. Des al niettemin is de resulterende uitdrukking nog te complex7. Daarom veronderstelt Layard nu dat er niet wordt gespaard, zodat de relatie c = w×ta weer opgaat. Bovendien neemt hij aan dat alle overige grootheden onveranderd blijven. Dat wil zeggen, c en tv zijn gelijk voor alle perioden π. Dan volgt er u = tv1 − δ × ((1−γ) × c)δ, eveneens onafhankelijk van π Na enig schrijfwerk vindt Layard voor de optimale tv het resultaat
(6) tv = (1 − γ) × (1 − δ) × T / ((1 − γ×R) × δ + (1 − γ) × (1 − δ))
Als γ=0, dan is er geen preferentie drijven, zodat de intussen bekende relatie tv = (1 − δ) × T opgaat. Het effect van een positieve γ wordt goed verduidelijkt door eerst om te schrijven tv = (1 − δ) × T / (δ × (1 − γ×R) / (1 − γ) + 1 − δ). Immers R is kleiner dan 1, zodat de term (1 − γ×R) / (1 − γ) hier groter is dan 1. Dat heeft tot gevolg dat de noemer groter is dan 1, en tenslotte tv kleiner is dan (1 − δ) × T. Aldus blijkt de gewenning inderdaad te prikkelen tot langer werken. Men kan zich afvragen of de hele exercitie de moeite waard was voor dit magere resultaat. Tenminste heeft het aan uw columnist niet de tijd gekost, die Layard er ongetwijfeld aan heeft besteed.
Layard gebruikt de formules 4 en 6 om de invloed van rivaliteit en van gewenning door te rekenen met enkele getallenvoorbeelden. Bovendien rekent hij uit hoe groot de belastingvoet op de consumptie moet zijn om de prikkels van rivaliteit en gewenning te compenseren. Layard vindt zo een belasting relevant, omdat hij anders vreest voor een te hoge werkdruk en voor een nodeloos materialistische maatschappij. In die zin is hij daadwerkelijk een geestverwant van de politica Femke Halsema. Uw columnist evenwel is niet overtuigd. Immers rivaliteit en gewenning zijn typisch menselijke eigenschappen, die voor de individu en voor de maatschappij zeker ook positieve effecten hebben. Het zou verkeerd zijn om enkel de tevredenheid en het nut na te jagen als het ultieme menselijke doel.
In een voorgaande column zijn al twee modellen gepresenteerd om een CAO onderhandeling te bestuderen. De huidige paragraaf voegt er een derde model aan toe, waarin gelijktijdig wordt onderhandeld over de loonhoogte w en over de arbeidstijd ta = T − tv. Het model is weer afkomstig van het boek Labor economics van P. Cahuc en A. Zylberberg8. Het past zo goed in de huidige column, omdat de formule 2 als nutsfunctie van een vakbondslid wordt gekozen, met c=w. Natuurlijk stelt de onderneming zich het doel om haar winst Π(ta, w, L) = Q(ta, L) − w×L maximaal te maken. De onderneming behoudt het recht van bestuur, dat wil zeggen, de zeggenschap over het personeelsaantal L.
Uiteraard zal een werker meer produceren naarmate hij of zij een langere arbeidstijd heeft. Het lijkt redelijk om aan de nemen dat de arbeidsproductiviteit ap zich gedraagt als
(7) ap(ta) = ap(1) × taβ
In de formule 7 is ap(1) de arbeidsproductiviteit gedurende het eerste uur werken. De grootheid β is een constante, die de elasticiteit van de productiviteit ten opzichte van de arbeidstijd voorstelt. Het lijkt logisch om β te kiezen tussen 0 en 1. Dit impliceert dat de toename van ap met de tijd de neiging heeft om in te zakken. Het grensproduct van de arbeidstijd neemt af, omdat de werker een tikje vermoeid raakt. Wiskundig geformuleerd is dat ∂ap/∂ta = β × ap/ta > 0 en ∂²ap/∂ta² = β × (β-1) × ap/ta² < 0.
Vervolgens moet er worden bepaald hoe de productiefunctie Q(ta, L) zich gedraagt. De productie is niet zonder meer gelijk aan ap×L, omdat de onderneming slechts beschikt over een beperkte hoeveelheid kapitaalgoederen. Naarmate er meer werkers worden aangenomen, zal de productiviteit per eenheid kapitaal verminderen. Het grensproduct van de factor arbeid neemt af. In het model wordt gekozen voor de productiefunctie
(8) Q(ta, L) = (ap(ta) × L)α / α
In de formule 8 is α een positieve constante met een waarde tussen 0 en 1. Aldus kan de formule worden opgevat als het arbeidsdeel van een Cobb-Douglas productiefunctie.
De formules 8 kan worden ingevuld in de winstformule. Daarna kan de winst maximaal worden gemaakt door L zodanig te kiezen dat is voldaan aan ∂Π/∂L = 0. Men vindt als de optimale oplossing
(9) L(ta, w) = (ap(ta)α / w)1/(1-α)
Dankzij de formules 8 en 9 wordt tenslotte de optimale winstfunctie van de onderneming berekend, althans voor L,
(10) Π(ta, w) = ((1-α)/α) × (ap(ta) / w)α/(1-α)
Tevens moet het doel van de vakbeweging worden geformuleerd. Veronderstel dat alle vakbondsleden ongeveer dezelfde voorkeuren hebben. Een individueel inkomen y geeft aan elk van hen een nut u(y). Stel dat de vakbond N leden heeft. Met andere woorden, een fractie λ=L/N van de leden krijgt een baan bij de onderneming. De rest van de leden is werkloos, en krijgt een uitkering x van de staat. Uiteraard is x kleiner dan w. Dan kan de tevredenheid van de bondsleden worden voorgesteld door
(11a) U(tv, w) = λ × u(tv, w) + (1 − λ) × u(T, x) dat wil zeggen
(11b) N × U(tv, w) = L × (u(tv, w) − u(T, x)) + N × u(T, x)
Gemakshalve wordt verondersteld, dat de bond probeert om tijdens de onderhandelingen het totale nut U (of N×U) van zijn leden maximaal te maken. De leden hebben de uitkering alvast binnen, zodat de maximalisatie enkel de eerste term in het rechterlid van de formule 11b betreft. Aldus is er iets voor te zeggen om de CAO onderhandeling voor te stellen door de uitdrukking
(12) kies uit alle tv en w diegenen, die het maximum opleveren van de grootheid ψ = Π1-γ × (L × (u(tv, w) − u(T, x)))γ
In de formule 12 is γ een maat voor de macht van de vakbond. Immers als γ=0, dan telt enkel de winst, en is de voorkeur van de bond irrelevant. En als γ=1, dan legt de winst geen enkel gewicht in de schaal. Bij de tussenliggende waarden van γ worden de belangen van de onderneming en de bond allebei meegewogen.
Het probleem kan ook zo worden geformuleerd, dat in het optimum moet gelden ∂ψ/∂tv = 0 en ∂ψ/∂w = 0. De uitkomst wordt de algemene Nash oplossing genoemd, ter ere van de wiskundige John Nash. De twee differentiaties kunnen concreet worden uitgewerkt door de formules 2, 7, 9 en 10 in te vullen bij de ψ van de formule 12. Vervolgens kan tv worden berekend uit de vergelijkingen ∂ψ/∂tv = 0 en ∂ψ/∂w = 0. Het resultaat is9
(13) tv = (1 − δ) × (γ + α × (1 − γ)) × T / (α×β×δ + (1 − δ) × (γ + α × (1 − γ)))
Men herkent in de formule 13 weer de term (1 − δ) × T, die het materialisme van de werker vertegenwoordigt. Merk voorts op, dat de teller een term γ × (1 − α) bevat. Kennelijk neemt de vrije tijd toe, naarmate de vakbond beschikt over meer macht. In tijden met een hoge werkloosheid heeft de vakbond minder macht, en dan zal kennelijk de onderneming lange arbeidsdagen opleggen.
Tenslotte zij eraan herinnerd dat Sam de Wolff, de naamgever van deze Gazet, al ruim tachtig jaren terug de CAO onderhandeling heeft gemodelleerd. Zijn model is beschreven in een voorgaande column. De Wolff typeert de macht van de vakbeweging door de mate, waarin zij netto-lust voor de arbeiders kan afdwingen (de constante κ in de column). Tijdens de CAO onderhandeling hanteert de vakbond κ als een isonutscurve in het (tv, w) veld. Met andere woorden, de ondernemer mag loon en vrije tijd onderling uitwisselen, zolang maar de netto-lust κ in stand blijft. Aldus onderhandelt bij De Wolff de vakbond zowel over de lonen als over de arbeidstijd. Het springt in het oog, dat men dezelfde vrijheid van substitutie aantreft in de formule 2.
Voorts laat het model van De Wolff de gevolgen zien van een machtsverlies van de vakbond, dat wil zeggen, bij een afnemende κ. In die situatie zal de ondernemer zijn winst vergroten door het loon te verlagen, en de arbeidstijd te verlengen. In het model behouden de ondernemers het vrije recht van bestuur, zodat zij zelf L kunnen bepalen. Net zoals in het zonet gepresenteerde model gaat De Wolff dus uit van een structurele werkloosheid. Voor hem is die werkloosheid vrijwillig, wat een enigszins merkwaardige opvatting is voor een orthodox marxist. Een deel van de werkers vindt simpelweg het loon te laag om voor te werken, en neemt ontslag. Nochtans verdient het model van De Wolff waardering, mede wegens zijn eenvoud.
Tot voor kort had de empirische informatie over uitwisselbaarheid van het arbeidsloon en de vrije tijd vooral een kwalitatief karakter. Echter tien jaren terug hebben de economen Bernard van Praag en Ada Ferrer-i-Carbonell in het boek Happiness economics een diepgaande statistische analyse uitgevoerd van menselijke voorkeuren, inclusief de behoeften in de ondernemingsgewijze productie10. De huidige paragraaf zal hun resultaten beschrijven, voor zover zij betrekking hebben op de substitutie van arbeidsloon en vrije tijd. De empirische gegevens zijn afkomstig van bevolkingsonderzoeken in West-Duitsland, Oost-Duitsland, en Engeland. In deze onderzoeken zijn allerlei feitelijke gegevens verzameld over de burgers, zoals hun inkomen, leeftijd, geslacht, relaties, gezondheid, tijdsbesteding, huisvesting enzovoort. Bovendien is een vraaggesprek gevoerd met hen, waarin aan hen is gevraagd hoe tevreden zij zijn met allerlei aspecten in hun leven.
Een dergelijk gegevensbestand leent zich uitstekend voor een statistische analyse met behulp van de probit methode. En dat is precies wat Van Praag en Ferrer-i-Carbonell hebben gedaan. Aldus is bijvoorbeeld aan de burger k gevraagd om de tevredenheid met zijn arbeid te waarderen met een cijfer. Deze waardering u(k) kan worden opgevat als het nut van de ondervraagde. Vervolgens kan u(k) aan de hand van een statistische fit worden gecorreleerd met de situatie, waarin de burger k verkeert. De probit methode gebruikt daarvoor een vergelijking van de gedaante
(14) u(k) = α1 × ln(w(k)) + α2 × ln(ta(k)) + α3 × ln(c(k)) + α4 × ln(lt(k)) + α5 × g(k) + α6 × ln(f(k)) + ...
In de formule 14 hebben w, ta en c de bekende betekenis. Echter w moet hier worden opgevat als het jaarinkomen, niet als een uurloon. En c kan groter zijn dan w, bijvoorbeeld wanneer iemand ook een rente-inkomen ontvangt uit kapitaal. Verder staat het symbool lt voor de leeftijd van burger k, g staat voor het geslacht, en f staat voor het aantal leden in zijn of haar huishouden. De probit methode schat de empirische waarden van de coëfficiënten αn (met n = 1, 2, 3, 4, ...) door het linkerlid en het rechterlid van de formule 14 zo gelijk mogelijk te maken, voor alle burgers k in het onderzoek.
De formule 14 heeft de prettige eigenschap dat zij dezelfde vorm heeft als de formule 2. Immers men kan de formule 2 omzetten in een logaritme, zodat zij wordt v = ln(u) = (1 − δ) × ln(tv) + δ × ln(c). Dien ten gevolge kan al het formalisme uit deze column vrij eenvoudig worden toegepast op de formule 14. Bijvoorbeeld kan men een isonutscurve u = constant beschouwen, en daarvoor de marginale substitutievoet berekenen tussen twee grootheden. Aldus geldt voor loonarbeid en vrije tijd dat MSV = ∂w/∂tv = -∂w/∂ta = (∂u/∂ta) / (∂u/∂w) = (α2/α1) × w/ta. Als alternatief kan ook de zogenaamde elasticiteit η worden uitgerekend, die nauw is verbonden met de MSV. Terwijl de MSV de absolute veranderingen van twee grootheden uitdrukt, geeft de elasticiteit de relatieve verandering aan. Zij is gedefinieerd als η(tv, w) = MSV(tv, w) × tv/w. Of, zo men wil, als η(tv, w) = (∂w/w) / (∂tv/tv). Op dezelfde wijze als bij het paar (tv, w) kan men de MSV en elasticiteit uitrekenen voor allerlei paren grootheden. In de huidige beschouwing is bijvoorbeeld voor de hand liggend om te berekenen η(ta, w) = α2/α1.
Een aardig resultaat van de probit methode is te vinden op p.60 in Happiness quantified. Daar wordt de tevredenheid u met de arbeid onderzocht voor Engelse werkers. De probit methode levert op α1 = 0.416 en α2 = -0.031. Uiteraard drukt het min-teken uit, dat een lange arbeidsdag wordt ervaren als een last. Daaruit volgt dat MSV(ta, w) = 0.075 × w/ta, en dat η(ta, w) = 0.075. Dit toont aan dat lange werkdagen in beginsel kunnen worden gecompenseerd via een hoger loon. Helaas vermelden Van Praag en Ferrer-i-Carbonell nergens in hun boek welke eenheden er zijn gebruikt voor de grootheden w, c, ta enzovoort. Dien ten gevolge zijn deze statistische gegevens enkel bruikbaar voor kwalitatieve conclusies, en voor relatieve vergelijkingen waarbij de eenheden wegvallen.
Interessant is ook de analyse op p.95 in Happiness quantified, waar de tevredenheid u met het arbeidsinkomen wordt onderzocht, voor dezelfde groep Engelse werkers. Hier is α1 = 0.165 en α2 = -0.076. Echter de twee auteurs hebben ook nog een term α7×ta toegevoegd aan de formule 14, dus zonder logaritme. Hiervoor wordt gevonden dat α7 = -0.214. Dien ten gevolge is MSV(ta, w) = -(α2/ta + α7) / (α1/w) = 0.43 × w/ta + 1.3×w. Daardoor wordt ook de elasticiteit anders, te weten η(ta, w) = 0.43 + 1.3×ta. In dit geval is de elasticiteit niet constant, maar neemt zij toe voor langere arbeidstijden. Inderdaad is het allerminst vanzelfsprekend, dat een elasticiteit constant is. Uw columnist kan niet verklaren, waarom deze elasticiteit een ander gedrag vertoont dan die in de direct vooraf gaande alinea.
De zonet beschreven empirische resultaten wekken de hoop dat de probit methode nogal vruchtbaar is. Helaas zijn de resultaten soms minder overtuigend. Bijvoorbeeld toont p.58 in Happiness quantified de analyse voor de Duitse werkers, en daar blijkt de arbeidstevredenheid helemaal niet samen te hangen met de arbeidstijd ta, althans niet statistisch significant11. Gezien al de theoretische ideeën in deze column en de resultaten van de Engelse studie is deze empirische vondst verrassend. Men moet de oorzaak zoeken in de grote practische en methodologische problemen, die moeten worden overwonnen om de statistische gegevens te meten op een redelijk betrouwbare manier. Deze obstakels ontstaan vooral, omdat men in feite op zoek is naar zeer kleine effecten. Weliswaar mag men spreken van een gemiddelde mens met karakteristieke eigenschappen, maar de verscheidenheid rondom dit gemiddelde is veelvuldig, veelsoortig en vaak verregaand.
Daarom is het begrijpelijk dat Van Praag en Ferrer-i-Carbonell ervan hebben afgezien om de vele grote verschillen tussen de Duitse en Engelse metingen van menselijke voorkeuren te verklaren. Men mag vooralsnog zelfs twijfelen aan de practische toepasbaarheid van dit soort empirisch onderzoek. Wie in dit prille stadium de sociologische en economische metingen van menselijke voorkeuren gebruikt om het politieke beleid te rechtvaardigen, zet de deur wijd open voor manipulaties en voor de pseudo-wetenschap van charlatans. Des ondanks meent uw columnist, dat Van Praag de juiste weg aanwijst om in de toekomst het menselijke gedrag te modelleren in kwantitatieve zin12.